考研数学·高等数学知识点详细总结

适用范围：数学一 / 数学二 / 数学三（标注"（数一）"的内容为数一专属，数二数三一般不考或要求较低）

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第一章 函数、极限、连续

1.1 函数的基本性质

• 有界性：存在 $M>0$，使 $|f(x)|\le M$ 恒成立
• 单调性：$x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$（增）或 $f(x_1)>f(x_2)$（减）
• 奇偶性：$f(-x)=-f(x)$（奇），$f(-x)=f(x)$（偶）
  • 奇函数图像关于原点对称；偶函数图像关于 y 轴对称
  • 奇函数在对称区间上积分为 0；偶函数积分为 2 倍半区间积分
• 周期性：存在 $T>0$，使 $f(x+T)=f(x)$ 恒成立

1.2 复合函数、反函数、隐函数、初等函数

• 复合函数存在条件：内层函数值域需落在外层函数定义域内
• 反函数：$y=f(x)$ 单调时存在反函数 $x=f^{-1}(y)$，图像关于 $y=x$ 对称
• 隐函数：由方程 $F(x,y)=0$ 确定的函数关系
• 基本初等函数：幂、指数、对数、三角、反三角函数；初等函数为其经有限次四则运算和复合构成

1.3 数列极限

• 定义（$\varepsilon$-$N$语言）：$\forall \varepsilon>0,\exists N$，当 $n>N$ 时，$|x_n-a|<\varepsilon$，记 $\lim_{n\to\infty}x_n=a$
• 性质：唯一性、有界性（收敛数列必有界）、保号性
• 收敛准则：
  • 夹逼准则：$y_n\le x_n\le z_n$，且 $y_n,z_n\to a \Rightarrow x_n\to a$
  • 单调有界准则：单调有界数列必收敛（常用于递推数列证明收敛性）
  • 柯西收敛准则（了解）

1.4 函数极限

• 定义（$\varepsilon$-$\delta$语言）：$\lim_{x\to x_0}f(x)=A$
• 左右极限：$\lim_{x\to x_0^-}f(x)$、$\lim_{x\to x_0^+}f(x)$，两者存在且相等 $\Leftrightarrow$ 极限存在
• $x\to\infty$ 型极限

1.5 两个重要极限

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1 \qquad \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1x\right)^x=e \ \left(\text{即}\lim_{x\to 0}(1+x)^{1/x}=e\right)$$

1.6 无穷小与无穷大

• 无穷小：极限为 0 的量；无穷大：绝对值趋于 $+\infty$
• 无穷小的比较（设 $\alpha,\beta\to 0$）：
  • $\lim\frac{\beta}{\alpha}=0$：$\beta$ 是 $\alpha$ 的高阶无穷小，记 $\beta=o(\alpha)$
  • $\lim\frac{\beta}{\alpha}=C\ne0$：同阶无穷小
  • $\lim\frac{\beta}{\alpha}=1$：等价无穷小，记 $\alpha\sim\beta$
  • $\lim\frac{\beta}{\alpha^k}=C\ne0$：$\beta$ 是 $\alpha$ 的 $k$ 阶无穷小

常用等价无穷小（$x\to0$）：

原式	等价无穷小
$\sin x,\ \tan x,\ \arcsin x,\ \arctan x,\ e^x-1,\ \ln(1+x)$	$x$
$1-\cos x$	$\frac12x^2$
$(1+x)^\alpha-1$	$\alpha x$
$a^x-1$	$x\ln a$
$x-\sin x$	$\frac16x^3$
$\tan x-x$	$\frac13x^3$
$x-\ln(1+x)$	$\frac12x^2$
$\tan x - \sin x$	$\frac12 x^3$

注意：等价无穷小替换只能在乘除因子中整体替换，加减时需谨慎（用泰勒展开更保险）。

1.7 极限运算法则与求解方法

• 四则运算法则（需各极限存在）
• 洛必达法则：$\frac00$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型，$\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}$（条件：导数极限存在或为无穷）
• 其他未定式 $0\cdot\infty,\ \infty-\infty,\ 1^\infty,\ 0^0,\ \infty^0$ 化为 $\frac00$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型
• 泰勒公式求极限（高阶未定式首选）
• 利用重要极限、等价无穷小替换
• 利用导数定义求极限
• 利用定积分定义求极限（数列和式极限）

1.8 函数的连续性与间断点

• 连续定义：$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$
• 间断点分类：
  • 第一类间断点：左右极限都存在
    • 可去间断点：左右极限相等但不等于函数值（或无定义）
    • 跳跃间断点：左右极限存在但不相等
  • 第二类间断点：左右极限至少一个不存在（无穷间断点、振荡间断点等）

1.9 闭区间上连续函数的性质

• 有界性定理：闭区间上连续函数必有界
• 最值定理：必取得最大值和最小值
• 介值定理：可取到最大值最小值之间的任何值
• 零点定理：$f(a)\cdot f(b)<0 \Rightarrow \exists \xi\in(a,b), f(\xi)=0$（证明根的存在性常用）

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第二章 一元函数微分学

2.1 导数的定义与几何/物理意义

$$f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$

• 几何意义：曲线在点 $(x_0,f(x_0))$ 处切线斜率
• 物理意义：瞬时变化率（如速度是位移对时间的导数）
• 左导数、右导数；可导 $\Leftrightarrow$ 左右导数存在且相等
• 可导必连续，连续不一定可导（如 $|x|$ 在 0 点连续但不可导）

2.2 求导法则

• 四则运算求导公式
• 复合函数求导（链式法则）：$[f(g(x))]'=f'(g(x))\cdot g'(x)$
• 反函数求导：$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{dx/dy}$
• 隐函数求导：方程两边对 $x$ 求导，将 $y$ 视为 $x$ 的函数
• 参数方程求导：$x=\varphi(t),y=\psi(t)$，$\frac{dy}{dx}=\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}$，二阶导 $\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)\Big/\varphi'(t)$
• 对数求导法：适用于幂指函数 $y=u(x)^{v(x)}$ 及连乘除、开方形式
• 高阶导数：莱布尼茨公式 $(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^n C_n^k u^{(k)}v^{(n-k)}$

基本导数公式表

函数	导数
$x^\alpha$	$\alpha x^{\alpha-1}$
$a^x$	$a^x\ln a$
$e^x$	$e^x$
$\log_a x$	$\frac{1}{x\ln a}$
$\ln x$	$\frac1x$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\tan x$	$\sec^2x$
$\cot x$	$-\csc^2x$
$\sec x$	$\sec x\tan x$
$\arcsin x$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arccos x$	$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arctan x$	$\frac{1}{1+x^2}$

2.3 微分

• $dy=f'(x)\Delta x$，$dy$ 是 $\Delta y$ 的线性主部
• 微分形式不变性
• 近似计算：$f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x$

2.4 微分中值定理（重点、证明题高频考点）

• 罗尔定理：$f$ 在 $[a,b]$ 连续，$(a,b)$ 可导，$f(a)=f(b)\Rightarrow \exists\xi\in(a,b),f'(\xi)=0$
• 拉格朗日中值定理：$\exists\xi\in(a,b)$，$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$
• 柯西中值定理：$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$
• 证明思路：构造辅助函数、多次使用罗尔定理、结合介值/零点定理

2.5 泰勒公式

$$f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+R_n(x)$$

• 皮亚诺余项：$R_n(x)=o((x-x_0)^n)$（用于求极限）
• 拉格朗日余项：$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$（用于证明不等式、估计误差）

常用麦克劳林展开（$x_0=0$）：

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$$

$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+o(x^{2n+1})$$

$$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots+o(x^{2n})$$

$$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots+o(x^n)$$

$$(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+o(x^n)$$

$$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots+x^n+o(x^n)$$

2.6 导数的应用

• 单调性判定：$f'(x)>0\Rightarrow$ 单增；$f'(x)<0\Rightarrow$ 单减
• 极值：必要条件 $f'(x_0)=0$（驻点）或不可导点；
  • 第一充分条件：导数变号
  • 第二充分条件：$f'(x_0)=0,f''(x_0)\ne0$，$f''(x_0)<0$ 极大，$f''(x_0)>0$ 极小
• 最值：比较驻点、不可导点、端点的函数值
• 凹凸性与拐点：$f''(x)>0$ 凹（下凸），$f''(x)<0$ 凸（上凸）；$f''(x_0)=0$ 且两侧异号为拐点
• 渐近线：
  • 水平渐近线：$\lim_{x\to\infty}f(x)=b$
  • 垂直渐近线：$\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty$
  • 斜渐近线：$k=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}$，$b=\lim_{x\to\infty}[f(x)-kx]$
• 曲率（数一数二）：$K=\dfrac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}}$，曲率半径 $R=1/K$
• 求解不等式证明、方程根的个数问题（结合单调性、中值定理、最值）

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第三章 一元函数积分学

3.1 不定积分

• 定义：$\int f(x)dx=F(x)+C$，其中 $F'(x)=f(x)$
• 性质：线性运算

基本积分公式表

积分	结果
$\int x^\alpha dx$	$\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\ (\alpha\ne-1)$
$\int \frac1x dx$	$\ln
$\int e^x dx$	$e^x+C$
$\int a^x dx$	$\frac{a^x}{\ln a}+C$
$\int \sin x\,dx$	$-\cos x+C$
$\int \cos x\,dx$	$\sin x+C$
$\int \sec^2x\,dx$	$\tan x+C$
$\int \csc^2x\,dx$	$-\cot x+C$
$\int \sec x\tan x\,dx$	$\sec x+C$
$\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$	$\arcsin x+C$
$\int \frac{dx}{1+x^2}$	$\arctan x+C$
$\int \tan x\,dx$	$-\ln
$\int \cot x\,dx$	$\ln
$\int \sec x\,dx$	$\ln
$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}$	$\arcsin\frac{x}{a}+C$
$\int \frac{dx}{a^2+x^2}$	$\frac1a\arctan\frac{x}{a}+C$
$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}$	$\ln\left

3.2 积分方法

• 第一类换元法（凑微分）：$\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(u)du$
• 第二类换元法：三角代换（$\sqrt{a^2-x^2}\to x=a\sin t$；$\sqrt{a^2+x^2}\to x=a\tan t$；$\sqrt{x^2-a^2}\to x=a\sec t$）、根式代换、倒代换 $x=1/t$
• 分部积分法：$\int u\,dv=uv-\int v\,du$，选取顺序口诀"反对幂指三"（反三角、对数、幂函数、指数、三角依次作 $u$）
• 有理函数积分：真分式化为部分分式相加
• 三角函数有理式积分：万能代换 $t=\tan\frac{x}{2}$
• 一些特殊技巧：递推公式（分部积分建立递推式）

3.3 定积分

• 定义：$\int_a^b f(x)dx=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$（黎曼和）
• 几何意义：曲边梯形面积（代数和）
• 性质：线性性、区间可加性、比较性质、估值定理、积分中值定理 $\exists\xi\in[a,b],\int_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a)$
• 对称区间上奇偶函数积分性质
• 变上限积分函数：$\Phi(x)=\int_a^x f(t)dt$，$\Phi'(x)=f(x)$（$f$ 连续时）—— 求极限、证明题高频工具
• 牛顿-莱布尼茨公式：$\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)$
• 定积分的换元法（换元同时换积分限）与分部积分法
• 常用结论：$\int_0^{\pi/2}\sin^nx\,dx=\int_0^{\pi/2}\cos^nx\,dx$（华里士公式/点火公式）
• 周期函数、区间再现公式：$\int_a^b f(x)dx=\int_a^b f(a+b-x)dx$

3.4 反常积分

• 无穷限反常积分：$\int_a^{+\infty}f(x)dx=\lim_{b\to+\infty}\int_a^b f(x)dx$
• 瑕积分（无界函数积分）：被积函数在端点趋于无穷
• 审敛法：比较判别法、极限形式比较判别法、$p$ 级数判别法：
  • $\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p}$：$p>1$ 收敛，$p\le1$ 发散
  • $\int_0^1\frac{dx}{x^p}$：$p<1$ 收敛，$p\ge1$ 发散

3.5 定积分的应用

• 平面图形面积：直角坐标 $\int(f-g)dx$；极坐标 $\frac12\int(\rho(\theta))^2d\theta$
• 旋转体体积：绕 x 轴 $V=\pi\int_a^b [f(x)]^2dx$；绕 y 轴（薄壳法）$V=2\pi\int_a^b x f(x)dx$
• 平行截面面积已知的立体体积：$V=\int_a^b A(x)dx$
• 弧长：$s=\int_a^b\sqrt{1+y'^2}\,dx$（直角坐标）；参数方程、极坐标下相应公式
• 旋转曲面面积（数一数二）：$S=2\pi\int_a^b f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx$
• 物理应用：变力做功、液体压力、质心/形心、引力

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第四章 向量代数与空间解析几何（数一）

4.1 向量运算

• 数量积（点积）：$\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z$，判断垂直
• 向量积（叉积）：$\vec a\times\vec b$，模为张成平行四边形面积，方向满足右手法则，判断平行
• 混合积：$[\vec a,\vec b,\vec c]=(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c$，绝对值为平行六面体体积，为 0 时三向量共面

4.2 平面与直线

• 平面方程：点法式 $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$；一般式 $Ax+By+Cz+D=0$
• 直线方程：对称式（点向式）、参数式、一般式（两平面交线）
• 平面间夹角、直线间夹角、直线与平面夹角、点到平面/直线距离公式
• 平行、垂直的判定条件

4.3 曲面与曲线

• 球面、柱面（准线+母线方向）、旋转曲面（绕坐标轴旋转的方程变化规律）
• 常见二次曲面：椭球面、单叶/双叶双曲面、椭圆抛物面、双曲抛物面（鞍面）、锥面
• 空间曲线的一般方程与参数方程

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第五章 多元函数微分学

5.1 多元函数的极限与连续

• 二元函数极限定义（比一元复杂，需任意路径趋近均相同）
• 判断极限不存在：沿不同路径趋近值不同
• 有界闭区域上连续函数的性质（最值定理等，与一元类似）

5.2 偏导数与全微分

• 偏导数定义：固定其他变量对某一变量求导
• 全微分：$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$
• 可微、偏导存在、连续之间的关系（重要考点）：
  • 可微 $\Rightarrow$ 连续，可微 $\Rightarrow$ 偏导存在
  • 偏导存在不能推出连续，也不能推出可微
  • 偏导连续 $\Rightarrow$ 可微（充分条件）
• 高阶偏导数、混合偏导数在连续条件下与求导顺序无关（克莱罗定理）

5.3 复合函数求导（链式法则）

• 多元复合函数链式法则，画变量关系图（树形图）辅助
• 全微分形式不变性

5.4 隐函数求导

• 一个方程 $F(x,y)=0$ 确定 $y=y(x)$：$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}$
• 一个方程 $F(x,y,z)=0$ 确定 $z=z(x,y)$：$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}$，$\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}$
• 方程组确定隐函数（数一）：利用雅可比行列式求解

5.5 多元函数的极值

• 无条件极值：必要条件 $f_x=0,f_y=0$（驻点）；充分条件用二阶偏导判别式

  $$A=f_{xx},B=f_{xy},C=f_{yy},\ \Delta=AC-B^2$$

  • $\Delta>0,A<0$：极大值；$\Delta>0,A>0$：极小值；$\Delta<0$：非极值；$\Delta=0$：不确定
• 条件极值——拉格朗日乘数法：求 $f(x,y)$ 在约束 $\varphi(x,y)=0$ 下极值，构造 $L=f+\lambda\varphi$，解 $L_x=0,L_y=0,\varphi=0$
• 最值问题：区域内部驻点值 + 边界最值比较

5.6 方向导数与梯度

• 方向导数：$\frac{\partial f}{\partial l}=f_x\cos\alpha+f_y\cos\beta$
• 梯度：$\text{grad}f=(f_x,f_y,f_z)$，方向导数的最大值方向即梯度方向，最大变化率为 $|\text{grad}f|$

5.7 几何应用

• 空间曲线在一点的切线与法平面
• 曲面在一点的切平面与法线

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第六章 多元函数积分学

6.1 二重积分

• 定义与几何意义（曲顶柱体体积）
• 直角坐标计算：化为累次积分，先 y 后 x 或先 x 后 y，注意积分区域分析与交换积分次序
• 极坐标计算：$x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$，$dxdy=r\,dr\,d\theta$，适用于圆域、扇形域及被积函数含 $x^2+y^2$
• 对称性简化计算（区域对称+被积函数奇偶性）
• 二重积分的应用：面积、体积、质心、转动惯量

6.2 三重积分（数一数二为主）

• 直角坐标（先一后二/先二后一，即"截面法"和"投影法"）
• 柱面坐标：$x=r\cos\theta,y=r\sin\theta,z=z$，$dV=r\,dr\,d\theta\,dz$
• 球面坐标：$x=r\sin\varphi\cos\theta,y=r\sin\varphi\sin\theta,z=r\cos\varphi$，$dV=r^2\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta$
• 利用对称性、轮换对称性化简

6.3 曲线积分（数一，数二部分要求）

• 第一类曲线积分（对弧长）：$\int_L f(x,y)ds$，与路径方向无关，参数化 $ds=\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}dt$
• 第二类曲线积分（对坐标）：$\int_L P\,dx+Q\,dy$，与方向有关，方向相反变号
• 格林公式：$\oint_L Pdx+Qdy=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy$（$L$ 取正向即逆时针，$D$ 为其围成区域）
• 平面上曲线积分与路径无关的条件：$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$（单连通区域），此时存在原函数 $u$ 使 $du=Pdx+Qdy$，可用折线法求原函数

6.4 曲面积分（数一）

• 第一类曲面积分（对面积）：$\iint_\Sigma f(x,y,z)dS$，与曲面侧无关
• 第二类曲面积分（对坐标）：$\iint_\Sigma Pdydz+Qdzdx+Rdxdy$，与曲面所取侧有关
• 高斯公式（散度定理）：$\oiint_\Sigma Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\iiint_\Omega\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dV$（$\Sigma$ 取外侧）
• 斯托克斯公式：曲线积分化为曲面积分，涉及旋度

6.5 场论初步（数一）

• 散度：$\text{div}\vec F=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$
• 旋度：$\text{rot}\vec F=\nabla\times\vec F$
• 通量、环流量的概念

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第七章 无穷级数

7.1 常数项级数的基本概念

• 部分和数列 $S_n$ 收敛 $\Leftrightarrow$ 级数收敛，$S=\lim S_n$
• 必要条件：级数收敛 $\Rightarrow \lim_{n\to\infty}u_n=0$（逆命题不成立，如调和级数）
• 基本性质：线性运算、加括号不影响收敛级数的和（但发散级数加括号可能变收敛，需注意）

7.2 正项级数审敛法

• 比较判别法：$0\le u_n\le v_n$，$\sum v_n$ 收敛 $\Rightarrow \sum u_n$ 收敛
• 比较判别法的极限形式：$\lim\frac{u_n}{v_n}=l$（$0<l<\infty$）同敛散
• 比值判别法（达朗贝尔）：$\lim\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho$，$\rho<1$ 收敛，$\rho>1$ 发散
• 根值判别法（柯西）：$\lim\sqrt[n]{u_n}=\rho$
• 积分判别法：与瑕积分/无穷积分敛散性一致

常用参照级数：

• 等比级数 $\sum aq^n$：$|q|<1$ 收敛
• $p$ 级数 $\sum\frac{1}{n^p}$：$p>1$ 收敛，$p\le1$ 发散（调和级数 $p=1$ 发散）

7.3 交错级数与绝对/条件收敛

• 莱布尼茨判别法：$u_n$ 单调递减趋于 0，则交错级数 $\sum(-1)^{n-1}u_n$ 收敛
• 绝对收敛：$\sum|u_n|$ 收敛 $\Rightarrow \sum u_n$ 收敛（绝对收敛必收敛）
• 条件收敛：$\sum u_n$ 收敛但 $\sum|u_n|$ 发散

7.4 幂级数

• 形式：$\sum a_n(x-x_0)^n$
• 阿贝尔定理：确定收敛半径 $R$，$|x-x_0|<R$ 绝对收敛，$>R$ 发散
• 收敛半径求法：$R=\lim\frac{1}{|a_{n+1}/a_n|}$ 或 $R=1/\lim\sqrt[n]{|a_n|}$
• 收敛域 = 收敛区间 + 端点单独讨论
• 性质：和函数在收敛区间内连续，可逐项求导、逐项积分，收敛半径不变

7.5 函数展开成幂级数

• 泰勒级数：函数在 $x_0$ 处任意阶可导且余项趋于 0 时，$f(x)=\sum\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$
• 常用展开（同 2.5 中的麦克劳林展开，考试要求会记忆并灵活运用/逆用求和）
• 间接展开法：拆项、逐项求导/积分、代换变量

7.6 傅里叶级数（数一）

• 狄利克雷收敛定理
• 周期为 $2\pi$ 函数的傅里叶级数：

  $$f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$$

  $$a_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos nx\,dx,\quad b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx\,dx$$

• 奇函数展开为正弦级数，偶函数展开为余弦级数
• 一般周期 $2l$ 的展开、以及区间 $[0,l]$ 上的正弦/余弦级数展开（奇延拓/偶延拓）

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第八章 常微分方程

8.1 基本概念

• 阶：方程中最高阶导数的阶数
• 通解（含任意常数，个数=阶数）、特解、初值问题

8.2 一阶微分方程

• 可分离变量方程：$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$，分离后两边积分
• 齐次方程：$\frac{dy}{dx}=\varphi\left(\frac yx\right)$，令 $u=y/x$ 转化为可分离变量
• 一阶线性微分方程：$y'+P(x)y=Q(x)$

  $$y=e^{-\int P(x)dx}\left(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C\right)$$

  （常数变易法推导：先解齐次方程，再设常数为函数代入求解）
• 伯努利方程：$y'+P(x)y=Q(x)y^n$，令 $z=y^{1-n}$ 化为线性方程
• 全微分方程：$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$ 且 $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$，用凑微分法或分组积分法求原函数

8.3 可降阶的高阶微分方程

• $y^{(n)}=f(x)$：直接逐次积分
• $y''=f(x,y')$（不显含 y）：令 $p=y'$，化为一阶方程 $p'=f(x,p)$
• $y''=f(y,y')$（不显含 x）：令 $p=y'$，$y''=p\frac{dp}{dy}$，化为关于 $p,y$ 的一阶方程

8.4 线性微分方程解的结构

• 齐次方程解的叠加原理：$y_1,y_2$ 为解，$C_1y_1+C_2y_2$ 也是解
• 非齐次方程通解 = 齐次通解 + 特解
• 非齐次方程解的叠加：若 $y_1^*,y_2^*$ 分别是 $f_1(x),f_2(x)$ 对应的特解，则 $y_1^*+y_2^*$ 是 $f_1+f_2$ 对应的特解

8.5 二阶常系数线性齐次方程

$$y''+py'+qy=0$$

特征方程 $r^2+pr+q=0$，设特征根 $r_1,r_2$：

特征根情况	通解
两不等实根 $r_1\ne r_2$	$y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$
两相等实根 $r_1=r_2=r$	$y=(C_1+C_2x)e^{rx}$
一对共轭复根 $\alpha\pm i\beta$	$y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$

8.6 二阶常系数线性非齐次方程

$$y''+py'+qy=f(x)$$

用待定系数法求特解 $y^*$，按 $f(x)$ 类型设特解形式：

• $f(x)=P_m(x)e^{\lambda x}$（$P_m$ 为 $m$ 次多项式）：设 $y^*=x^k Q_m(x)e^{\lambda x}$
  • $k=0$：$\lambda$ 不是特征根
  • $k=1$：$\lambda$ 是特征方程单根
  • $k=2$：$\lambda$ 是特征方程重根
• $f(x)=e^{\lambda x}[P_l(x)\cos\omega x+P_n(x)\sin\omega x]$：设 $y^*=x^k e^{\lambda x}[Q_m(x)\cos\omega x+R_m(x)\sin\omega x]$，$m=\max(l,n)$
  • $k=0$：$\lambda\pm i\omega$ 不是特征根；$k=1$：$\lambda\pm i\omega$ 是特征根

8.7 欧拉方程（数一）

$$x^2y''+pxy'+qy=f(x)$$

令 $x=e^t$（$x>0$），化为常系数线性方程求解

8.8 微分方程的应用

• 建立微分方程模型（增长/衰减、混合问题、几何问题、物理问题）
• 结合定积分、变上限积分构造微分方程求函数

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附：高频易错点速查

1. 分段函数在分段点处的可导性：需用导数定义（左右导数），不能直接用求导公式后代入
2. 变限积分求导：注意上下限含 $x$ 时用链式法则，被积函数含 $x$ 时需先换元分离
3. 洛必达法则使用条件：每次使用前需验证是否为 $\frac00$ 或 $\frac\infty\infty$ 型，且导数比值极限需存在（或为$\infty$）
4. 可微、偏导存在、连续三者关系在多元函数中不等价，需牢记反例
5. 交换二重积分次序、交换积分与极限/求导顺序需验证条件（一致收敛性等，数一深挖，数二三一般不深究）
6. 反常积分与级数的审敛法结构相似，注意积分判别法的适用条件（单调递减）
7. 第二类曲线/曲面积分与方向/侧相关，第一类与方向/侧无关
8. 幂级数端点收敛性需单独代入原级数判断，不能用比值/根值法（此时比值为1，判别法失效）